import sympy as sp
from sympy import symbols, integrate, sqrt, cbrt

# 定义符号变量
t, a, x = symbols('t a x', real=True, positive=True)

# 例3：求解 ∫1/(√x + ∛x) dx (使用代换 x = t^6)
print("例3：求解 ∫1/(√x + ∛x) dx")

expr4 = 1 / (sqrt(x) + cbrt(x))
simplified_expr4 = expr4.simplify()  # 简化表达式
print(f"代换后表达式：{simplified_expr4}")
result4 = integrate(simplified_expr4, x)
print(f"积分结果：{result4}")

# 例4：求解 ∫√(a²-x²) dx
print("\n例4：求解 ∫√(a²-x²) dx")
expr5 = sqrt(a**2 - x**2)
result5 = integrate(expr5, x)
print(f"积分结果：{result5}")

# 验证例4的特殊情况 (a=1)
print("\n验证例4的特殊情况 (a=1)：")
expr6 = sqrt(1 - x**2)
result6 = integrate(expr6, x)
print(f"∫√(1-x²) dx = {result6}")